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Capire il teorema di Pitagora con esempi DAVVERO PRATICI

30 Gennaio 2018
Vorresti spiegare a tuo figlio il teorema di Pitagora, ma a parte la lezioncina a memoria fai fatica a fargli capire il significato. Ancora peggio, l'enunciato "a pappagallo" proprio non entra nella testa. Cosa fare per capirlo davvero? Facile! Ci viene in aiuto Maria Montessori, con tre dimostrazioni pratiche del famoso teorema tratte dal libro Psicogeometria. Ce le spiega Mario Valle, che lavora nel Centro Svizzero di Calcolo Scientifico di Lugano (Swiss National Supercomputing Centre), un centro che dà servizi di supercalcolo a tutti i Cantoni elvetici.

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Partiamo dalla teoria e scopriamo più avanti con tre esempi pratici come funziona il teorema.
Secondo il teorema di Pitagora:

"in ogni triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa".

Quindi a²+b²=c².
a e b sono i cateti: c è l'ipotenusa.
Questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nel libro Elementi di Euclide, matematico greco, uno dei più importanti della storia antica.
Passiamo ora dalla teoria... alla pratica!

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PRIMA DIMOSTRAZIONE: triangolo rettangolo con i lati uguali

Partiamo dall'esempio più semplice. Questo che vedete è "un triangolo rettangolo con i lati uguali - spiega Mario Valle -. I materiali sono costruiti con una lamina di ferro e hanno un bottone al centro, per poter essere spostati. La tavola intorno è bucata e tutti gli altri pezzi si incastrano dentro perfettamente".
Su ogni lato del triangolo rettangolo (in rosa) è costruito un quadrato.
"Se togli i 4 triangoli rossi e metti al loro posto i due gialli e i due blu, ci stanno perfettamente. Lo stesso avviene distribuendo i quattro rettangoli rossi nei due quadrati più piccoli" chiarisce Valle. Dunque, l'area del quadrato rosso equivale alla somma degli altri due.

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SECONDA DIMOSTRAZIONE: triangolo rettangolo con i lati in una "relazione speciale"

Questo triangolo rettangolo ha i cateti di lunghezze diverse, ma il rapporto dei lati è fisso: 3 unità il lato blu, 4 il giallo e 5 il rosso.

Proviamo dividere i tre quadrati in quadratini tutti uguali. Mettete poi i quadratini blu e gialli al posto di quelli rossi. "Scoprirete che effettivamente il quadrato costruito sull'ipotenusa (rosso) è la somma dei quadrati costruiti sui cateti" spiega Mario Valle.
"Per capire tutto questo non abbiamo avuto bisogno di formule. È bastato muovere dei pezzi che si incastrano completamente. Se il pezzetto ci stava prima e ci sta anche dopo e non balla, significa che l'area è uguale" conclude Mario Valle.
Possiamo fare anche questo calcolo:
3x3 = 9 quadratini (blu)
4x4 = 16 quadratini (gialli)
5x5 = 25 quadratini (rossi)
Ma anche... 16+9 = 25

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TERZA DIMOSTRAZIONE: triangolo rettangolo qualsiasi
In questo triangolo "il blu e il giallo sono quadrati interi, mentre il rosso è diviso in due rettangoli, tagliati secondo il prolungamento dell'altezza del triangolo che divide in due parti l'ipotenusa" spiega Valle.
Possiamo dimostrarlo in due modi.

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Teniamo il quadrato giallo al suo posto, ma anche quello rosso. Partiamo da quello sul cateto minore. Se togliamo il quadrato blu resta uno spazio vuoto. Facciamo scorrere in alto il triangolo rosa fino a quando il suo vertice non incontra l'angolo superiore. Come mai l'area del quadrato blu corrisponde a quella del parallelogramma blu? Perché l'area del parallelogramma è equivalente a quella di un rettangolo che abbia la stessa base e la stessa altezza.

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Possiamo fare la stessa cosa rimettendo i pezzi a posto e facendo lo stesso lavoro con il quadrato giallo e ottenendo un romboide con la stessa area di quello di prima.

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Il passaggio conclusivo: togliamo i pezzi del quadrato rosso e proviamo a incastrare insieme il quadrato giallo (che resta al suo posto), quello blu (anche lui al suo posto), i due parallelogrammi di prima con l'area identica ai quadrati blu e giallo e il triangolo rettangolo rosa.
Ci stanno tutti alla perfezione!
Significa che i due nuovi parallelogrammi, che appunto, hanno l'area dei due quadrati blu e giallo, hanno anche la stessa area del quadrato rosso (costruito sull'ipotenusa).

Partiamo dalla teoria e scopriamo più avanti con tre esempi pratici come funziona il teorema.
Secondo il teorema di Pitagora:

"in ogni triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa".

Quindi a²+b²=c².
a e b sono i cateti: c è l'ipotenusa.
Questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nel libro Elementi di Euclide, matematico greco, uno dei più importanti della storia antica.
Passiamo ora dalla teoria... alla pratica!
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